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%%文档的题目、作者与日期
\author{通义千问、五六七}
\title{数量金融实验 - 专题5 - 布朗运动}
%\date{2025年10月10日}

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\begin{document}

\maketitle

\abstract{本文介绍布朗运动。}

\tableofcontents

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\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

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%\newpage 

\section{布朗运动的概念}

布朗运动，又称维纳过程，是一种随机过程，以植物学家罗伯特·布朗的名字命名。1827年，布朗观察到花粉颗粒在水中的不规则运动，这种现象后来被解释为液体分子对颗粒的无休止碰撞导致的结果。在数学上，标准布朗运动是一个连续时间的随机过程 \(W_t\)，它满足以下条件：

\begin{enumerate}
\item  \(W_0 = 0\)
\item  对于任意的时间 \(t \geq 0\)，\(W_t\) 是一个正态分布 \(N(0, t)\) 的随机变量。
\item  过程具有独立增量性：对于任何 \(0 \leq s < t\)，随机变量 \(W_t - W_s\) 独立于之前的所有值，并且服从 \(N(0, t-s)\) 分布。
\end{enumerate}


\section{布朗运动的基本性质}

 连续性：路径是连续的，但不可微。

 独立增量：不同时间段内的变化量相互独立。

 正态分布增量：每个时间间隔的变化量都是正态分布的。

 无漂移：对于标准布朗运动，没有趋势性的移动。


\section{布朗运动的例子}

考虑一个粒子在液体中做布朗运动，它的位置随时间随机波动。这个模型可以用来模拟股票价格、物理系统中的微观粒子行为等。


\section{布朗运动的Python画图实现}

使用Python绘制简单布朗运动路径：

程序：\texttt{brownian\_motion.py}

图像：
\begin{figure}[ht]\centering
\includegraphics[scale=0.5]{python/brownian_motion_example.png}
\caption{布朗运动的样本路径}
\end{figure}

\section{习题}

1. 基本理解：解释为什么布朗运动不能有可预测的趋势？

2. 编程练习：修改上述代码，使得布朗运动具有非零的漂移项，即除了随机波动外，还存在一个线性的增长或减少趋势。

3. 应用思考：假设你正在研究一种新型纳米材料的行为，如何利用布朗运动模型来帮助你的研究？请设计一个简单的实验方案。

4. 概率计算：给定一个标准布朗运动，在时间 \(t=1\) 时的位置大于1的概率是多少？


\end{document}

